5. В зоомагазине продаются рыбки шести пород. Света пришла купить трёх рыбок. Сколькими способами она может выбрать трёх рыбок так, что: а) все рыбки будут разных пород; б) рыбки будут только двух пород?

Решение:

В зоомагазине 6 пород рыбок. Света хочет выбрать 3 рыбки.

а) Все рыбки будут разных пород.

Это задача на сочетания, так как порядок выбора рыбок не важен.

Нужно выбрать 3 рыбки из 6 разных пород. Количество способов равно числу сочетаний из 6 по 3:

\[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

а) Все рыбки будут разных пород — 20 способами.

б) Рыбки будут только двух пород.

Это означает, что из трех рыбок две будут одной породы, а одна — другой. Либо две будут одной породы, а две — другой. Но так как всего 3 рыбки, это означает, что две рыбки будут одной породы, а третья — другой.

Сначала нужно выбрать 2 породы из 6 имеющихся. Это можно сделать $$C_6^2$$ способами:

\[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

После выбора двух пород, например, породы А и породы Б, нужно определить, из какой породы будет две рыбки, а из какой — одна.

Есть 2 варианта:

1. Две рыбки породы А и одна рыбка породы Б.
2. Одна рыбка породы А и две рыбки породы Б.

Итак, для каждой пары выбранных пород есть 2 варианта формирования набора из трех рыбок (так, чтобы было ровно два вида пород).

Общее количество способов: $$C_6^2 \times 2 = 15 \times 2 = 30$$.

б) Рыбки будут только двух пород — 30 способами.

Ответ: а) 20; б) 30.