5. Вне плоскости $\alpha$ расположен $\triangle ABC$, у которого медианы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны плоскости $\alpha$. Через вершины $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие $\alpha$ соответственно в точках $E$ и $F$. Доказать, что $ECBF$ — параллелограмм.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Вне плоскости $\alpha$ расположен $\triangle ABC$, у которого медианы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны плоскости…$ Фото задания

5. Вне плоскости $\alpha$ расположен $\triangle ABC$, у которого медианы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны плоскости $\alpha$. Через вершины $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие $\alpha$ соответственно в точках $E$ и $F$. Доказать, что $ECBF$ — параллелограмм.

Accepted Answer

Поскольку медиана $AA_1$ параллельна плоскости $\alpha$, её направление параллельно этой плоскости. Значит, точка $A$ и середина $A_1$ отрезка $BC$ имеют одинаковую координату по направлению, перпендикулярному $\alpha$.

Аналогично, из $BB_1\parallel\alpha$ следует, что точка $B$ и середина $B_1$ отрезка $AC$ имеют одинаковую координату по этому направлению.

Обозначим через $h(P)$ ориентированную координату точки $P$ по нормали к $\alpha$. Тогда $h(A)=h(A_1)=(h(B)+h(C))/2$, откуда $2h(A)=h(B)+h(C)$. Также $h(B)=h(B_1)=(h(A)+h(C))/2$, откуда $2h(B)=h(A)+h(C)$. Вычитая равенства, получаем $h(A)=h(B)$, а затем $h(C)=h(A)=h(B)$. Следовательно, плоскость $ABC$ параллельна $\alpha$.

Параллельные прямые через $B$ и $C$, пересекающие $\alpha$ в $E$ и $F$, имеют одно направление. Поэтому $BE\parallel CF$. Так как $BC$ лежит в плоскости, параллельной $\alpha$, проекция перемещения от $B$ к $C$ вдоль прямых этого направления даёт то же перемещение от $E$ к $F$; значит, $BC\parallel EF$.

В четырёхугольнике $ECBF$ обе пары противоположных сторон параллельны: $EC\parallel BF$ и $CB\parallel EF$. Следовательно, $ECBF$ — параллелограмм.

Ответ: