6. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна \(2\sqrt6\) см, а его измерения относятся как \(1:1:2\). Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Дано: основание — квадрат; отношение измерений \(1:1:2\); диагональ параллелепипеда \(d=2\sqrt6\) см.

Пусть измерения равны \(x,x,2x\). По теореме Пифагора для пространственной диагонали:

\[d^2=x^2+x^2+(2x)^2=6x^2.\]

Подставим \(d=2\sqrt6\): \(24=6x^2\), поэтому \(x^2=4\) и \(x=2\) см.

а) Измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см и 4 см.

б) Проекция пространственной диагонали на плоскость основания — диагональ квадратного основания длиной \(2\sqrt2\) см. Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению перпендикулярной составляющей к длине прямой:

\[\sin\varphi=\frac{4}{2\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{3}.\]

Ответ: а) 2 см, 2 см, 4 см; б) \(\frac{\sqrt6}{3}\).