5. Внутри угла ABC равного 110°, проведён луч BM. Внутри угла ABM проведён луч BK, ∠ABM = 80°, ∠KBC = 70°. Найдите угол между биссектрисами углов ABK и CBM.

Данные противоречивы: поскольку луч BM находится внутри ∠ABC, должно быть ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC. Из условия ∠MBC = 110° − 80° = 30°.

Но луч BK находится внутри ∠ABM, а значит ∠KBC = ∠KBM + ∠MBC не может быть меньше ∠MBC. По условию ∠KBC = 70°, откуда ∠KBM = 70° − 30° = 40°. Тогда ∠ABK = ∠ABM − ∠KBM = 80° − 40° = 40°, что согласуется с расположением лучей. Однако ∠KBC при таком разбиении равен 70°, и его стороны расположены в порядке BA, BK, BM, BC? Этот порядок несовместим с заданием, что BK лежит внутри ABM: при этом ∠KBC = ∠KBM + ∠MBC = 40° + 30° = 70° — данные, таким образом, совместимы.

Биссектриса ∠ABK делит угол 40° пополам, а биссектриса ∠CBM делит угол 30° пополам. Между лучами BM и BK находится угол 40°, поэтому угол между биссектрисами равен 20° + 40° + 15° = 75°.

Ответ: 75°.