5. Внутри угла ABC, равного 80°, проведён луч BM. Внутри угла ABM проведён луч BK. ∠ABM = 50°, ∠KBC = 40°. Найдите угол между биссектрисами углов ABK и CBM.

Поскольку ∠ABC = 80° и ∠ABM = 50°, получаем ∠CBM = 80° − 50° = 30°.

Луч BK расположен внутри ∠ABM, а ∠KBC = 40°. Поэтому ∠ABK = ∠ABC − ∠KBC = 80° − 40° = 40°.

Биссектриса ∠ABK делит его пополам: 40° : 2 = 20°. Биссектриса ∠CBM делит его пополам: 30° : 2 = 15°. Между лучами BC и BM находится луч BK; направления биссектрис отсчитываются от BA на 20° и от BC на 15° внутрь соответствующих углов. Угол между ними равен 80° − 15° − 20° = 45°.

Ответ: 45°.