5. Внутри угла BAC, равного 130°, проведён луч AK. Внутри угла BAK проведён луч AM, ∠BAK = 70°, ∠MAC = 90°. Найдите угол между биссектрисами углов BAM и CAK.

Проверим совместимость условий. Если лучи AK и AM проходят внутри ∠BAC в указанном порядке, то ∠KAC = 130° − 70° = 60°. Поскольку AM находится внутри ∠BAK, угол ∠MAC должен быть больше ∠KAC, а не меньше: луч AM расположен между AB и AK, поэтому ∠MAC = ∠MAK + ∠KAC > 60°. Однако задано ∠MAC = 90°, что само по себе возможно; из условий получаем ∠MAK = 30°.

Тогда ∠BAM = ∠BAK − ∠MAK = 70° − 30° = 40°, а ∠CAK = 60°. Биссектрисы этих углов образуют внутри ∠BAC угол 20° + 30° = 50°.

Ответ: 50°.