5. Вычисли площадь поверхности конуса, если радиус основания R равен 3 см, а развертка боковой поверхности — сектор, равный половине круга с радиусом 6 см (π≈ 3) (рис. 55). Есть ли в условии задачи лишнее данное?

Решение:

1. Анализ условия:

• Радиус основания конуса: \( R_{осн} = 3 \) см.
• Развертка боковой поверхности — сектор, равный половине круга. Радиус этого круга равен образующей конуса: \( l = 6 \) см.
• Приближенное значение \( \pi \approx 3 \).

2. Вычисление площади боковой поверхности конуса:

Площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора. Если сектор составляет половину круга, то его площадь равна половине площади круга радиусом \( l \).

• Площадь круга радиусом \( l \): \( S_{круга} = \pi l^2 = 3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108 \) см².
• Площадь боковой поверхности конуса (половина площади круга): \( S_{бок} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 \) см².

3. Вычисление площади основания конуса:

• Площадь основания (круга) с радиусом \( R_{осн} \): \( S_{осн} = \pi R_{осн}^2 = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27 \) см².

4. Вычисление площади полной поверхности конуса:

• Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:
• \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 54 + 27 = 81 \) см².

5. Анализ на лишние данные:

В условии указано, что развертка боковой поверхности — сектор, равный половине круга. Это означает, что угол сектора равен \( 180^{\circ} \). Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса.

Длина дуги сектора: \( L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi l = \pi l = 3 \cdot 6 = 18 \) см.

Длина окружности основания: \( C_{осн} = 2 \pi R_{осн} = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 \) см.

Эти значения совпадают, что подтверждает согласованность данных. Однако, радиус основания \( R_{осн} = 3 \) см является лишним данным, так как площадь боковой поверхности можно вычислить, зная, что сектор составляет половину круга с радиусом 6 см. Площадь полной поверхности можно найти, если бы было указано, что конус является частью некоторой большей фигуры, для которой важен радиус основания.

Ответ: Площадь поверхности конуса равна 81 см². Радиус основания (3 см) является лишним данным для вычисления площади боковой поверхности, но необходим для вычисления площади полной поверхности.