5. Вычислить интеграл (определенный): ∫_{-1}^{1} (5 - 4x)dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 5 - 4x \).

Первообразная \( F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \frac{x^2}{2} + C = 5x - 2x^2 + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{-1}^{1} (5 - 4x) dx = [5x - 2x^2]_{-1}^{1} \)

Подставим верхний предел (1):

\( F(1) = 5(1) - 2(1)^2 = 5 - 2 = 3 \)

Подставим нижний предел (-1):

\( F(-1) = 5(-1) - 2(-1)^2 = -5 - 2(1) = -5 - 2 = -7 \)

Теперь вычислим разность:

\( F(1) - F(-1) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10 \)

Ответ: 10.