6. Решить логарифмическое неравенство: log8(x² - 3x + 2) ≥ 1

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

\( x^2 - 3x + 2 > 0 \)

Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 3x + 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \).

Корни: \( x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).

Значит, \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 8 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. Это значит, что мы можем убрать логарифм, сохранив знак неравенства, и представив правую часть (1) как логарифм по основанию 8:

\( \log_8 (x^2 - 3x + 2) \ge \log_8 8 \)

\( x^2 - 3x + 2 \ge 8 \)

Перенесём 8 в левую часть:

\( x^2 - 3x + 2 - 8 \ge 0 \)

\( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \)

Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 3x - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33 \).

Корни: \( x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \).

Таким образом, \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \).

Теперь объединим решение неравенства с ОДЗ.

\( \sqrt{33} \) примерно равно 5.74.

\( \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 - 5.74}{2} = \frac{-2.74}{2} = -1.37 \)

\( \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 + 5.74}{2} = \frac{8.74}{2} = 4.37 \)

Итак, из \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \) имеем \( x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; \infty) \).

Из ОДЗ \( x < 1 \) или \( x > 2 \) имеем \( x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty) \).

Пересечение этих множеств:

\( (-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \) является подмножеством \( (-\infty; 1) \) так как \( -1.37 < 1 \).

\( [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; \infty) \) является подмножеством \( (2; \infty) \) так как \( 4.37 > 2 \).

Значит, решение неравенства совпадает с решением \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; \infty) \).