5. Вычислите: a) cos 54° cos 6° - sin 54° sin 6°; б) cos (3π/10) cos (π/20) + sin (π/20) sin (3π/10).

Решение:

Используем формулы косинуса суммы и разности углов:

• \( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \)

a) \( \cos 54^{\circ} \cos 6^{\circ} - \sin 54^{\circ} \sin 6^{\circ} = \cos(54^{\circ} + 6^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \).

б) \( \cos \frac{3\pi}{10} \cos \frac{\pi}{20} + \sin \frac{3\pi}{10} \sin \frac{\pi}{20} = \cos \left( \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{20} \right) \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{3\pi}{10} = \frac{6\pi}{20} \).

\( \cos \left( \frac{6\pi}{20} - \frac{\pi}{20} \right) = \cos \left( \frac{5\pi}{20} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{2} \), б) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).