7. Вычислите sin 2α и cos 2α, если sin α = 0,6 и π/2 < α < π.

Решение:

Сначала найдём \( \cos \alpha \), используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. \( (0,6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
2. \( 0,36 + \cos^2 \alpha = 1 \)
3. \( \cos^2 \alpha = 1 - 0,36 = 0,64 \)
4. \( \cos \alpha = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8 \)
5. По условию \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть), где косинус отрицательный. Следовательно, \( \cos \alpha = -0,8 \).

Теперь вычислим \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \) по формулам двойного угла:

• \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times 0,6 \times (-0,8) = 1,2 \times (-0,8) = -0,96 \)
• \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (-0,8)^2 - (0,6)^2 = 0,64 - 0,36 = 0,28 \)

Ответ: \( \sin 2\alpha = -0,96 \), \( \cos 2\alpha = 0,28 \).