5. Вычислите координаты точек пересечения прямой y = x + 2 и окружности x² + y² = 10.

Решение:

Подставим выражение для \( y \) из уравнения прямой в уравнение окружности:

1. \( x^2 + (x + 2)^2 = 10 \)
2. Раскроем скобки: \( x^2 + x^2 + 4x + 4 = 10 \)
3. Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение: \( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \)
4. Разделим все на 2: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
6. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).
7. Найдем соответствующие значения \( y \):
   При \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 1 + 2 = 3 \). Точка \( (1; 3) \).
   При \( x_2 = -3 \), \( y_2 = -3 + 2 = -1 \). Точка \( (-3; -1) \).

Ответ: Координаты точек пересечения: \( (1; 3) \) и \( (-3; -1) \).