5. Выполни преобразования выражений с квадратными корнями. 1) Упрости выражение: √100 − 2√12 + √75. 2) Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1/(√5 − √3). 3) Сократите дробь (a² − 7)/(a + √7) и укажите ограничения на переменную.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\(\sqrt{100}-2\sqrt{12}+\sqrt{75}=10-2\cdot2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=10-4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=10+\sqrt{3}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\).
Разложим числитель как разность квадратов: \(a^2-7=(a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})\). При \(a\ne-\sqrt{7}\) сокращаем общий множитель: \(\displaystyle\frac{a^2-7}{a+\sqrt{7}}=a-\sqrt{7}\). Ограничение получено из условия ненулевого знаменателя.

Ответ: 1) \(10+\sqrt{3}\); 2) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\); 3) \(a-\sqrt{7}\), где \(a\ne-\sqrt{7}\).