5. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки:

Решение:

1. Ошибки ученика:

• а) \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \), а не \( 4^5 \).
• б) \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \), а не \( -9 \).
• в) \( 7^1 = 7 \), а не \( 1 \).
• г) \( 0^0 \) — неопределённость, но в некоторых контекстах принимается за \( 1 \). Ученик написал верно, но это спорный случай.

2. Ошибки ученика:

• а) \( 2^3 \cdot 2^7 = 2^{3+7} = 2^{10} \), а не \( 2^{21} \).
• б) \( 2^3 \cdot 2^7 = 2^{10} \), а не \( 4^{10} \).
• в) \( 2^3 + 2^7 \) нельзя складывать по свойству степеней, \( 8 + 128 = 136 \), а не \( 2^{10} \).
• г) \( 2^{30} : 2^{10} = 2^{30-10} = 2^{20} \), а не \( 2^3 \).

3. Ошибки ученика:

• а) \( (2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3 \), а не \( 2x^3 \).
• б) \( (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6 \), а не \( a^2 \).
• в) \( (a^2)^3 \cdot (a^4)^2 = a^6 \cdot a^8 = a^{14} \), а не \( (a^6)^5 = a^{30} \).

Ответ: Ученик не знает правил возведения степени в степень, умножения и деления степеней с одинаковым основанием, а также правила возведения произведения и суммы в степень.