5*. Выпуская в день на 2 станка больше, чем намечено по плану, завод выпустил 80 станков за 2 дня до срока. Сколько станков в день выпускал завод?

Решение:

Обозначим:

• x — запланированное количество станков в день.
• y — запланированное количество дней до срока.

Тогда общее запланированное количество станков: x * y.

По условию задачи:

1. Завод выпускал x + 2 станка в день.
2. Завод выпустил 80 станков за y - 2 дня.

Составим систему уравнений:

1. x * y = 80 (общее количество станков по плану)
2. (x + 2) * (y - 2) = 80 (фактически произведенные станки)

Решаем систему:

1. Из первого уравнения выразим y: y = 80 / x
2. Подставим это значение во второе уравнение:(x + 2) * (80 / x - 2) = 80
3. Раскроем скобки:80 - 2x + 160/x - 4 = 80
4. Упростим:-2x + 160/x - 4 = 0
5. Умножим всё на x (предполагая, что x ≠ 0):-2x² + 160 - 4x = 0
6. Приведём к стандартному квадратному уравнению:2x² + 4x - 160 = 0
7. Разделим на 2:x² + 2x - 80 = 0
8. Решим квадратное уравнение (например, через дискриминант):
   D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324
√D = 18
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 18) / 2 = 16 / 2 = 8
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 18) / 2 = -20 / 2 = -10

Так как количество станков не может быть отрицательным, выбираем положительный корень x = 8.

Проверка:

Если планировали выпускать по 8 станков в день, то за 10 дней (80 станков / 8 станков/день) должны были выполнить план. Фактически выпускали 8 + 2 = 10 станков в день. За 10 - 2 = 8 дней выпустили 10 станков/день * 8 дней = 80 станков.

Ответ: Завод выпускал 8 станков в день.