5. Высота BK, проведённая из вершины B ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Точка K лежит на стороне AD, AK = 6 см. Найдите сторону ромба и длину диагонали AC.

Так как BK — высота к AD, треугольник ABK прямоугольный, а ∠ABK = 30°.

В прямоугольном треугольнике AK — катет напротив угла 30°, поэтому гипотенуза AB вдвое больше: AB = 2 · 6 = 12 см. Это сторона ромба.

∠BAK = 60°, следовательно, угол ромба A равен 60°. Диагональ AC — сторона треугольника ABC, где AB = BC = 12 см, а угол между ними равен 60°. По теореме косинусов: AC² = 12² + 12² − 2 · 12 · 12 · cos 60° = 144, значит AC = 12 см.

Ответ: сторона ромба — 12 см, диагональ AC — 12 см.