5*. Высота BM, проведена из вершины угла ромба ABCD образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, то BM ⟂ AD, и треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. Угол ABM равен 30°. Сторона AM лежит напротив угла 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB вдвое больше AM:

AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 см.

Все стороны ромба равны, значит AD = 8 см. Тогда MD = AD − AM = 8 − 4 = 4 см.

В прямоугольном треугольнике ABM сторона BM равна 4√3 см. Треугольник BMD также прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

BD² = BM² + MD² = (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64, следовательно, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.