5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, а точка M лежит на стороне AD. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба.

Так как BM — высота к AD, ∠BMA = 90°. В прямоугольном треугольнике ABM угол при B равен 30°, а AM = 4 см — сторона, лежащая напротив угла 30°. Значит, гипотенуза AB = 2 · AM = 8 см.

Все стороны ромба равны, поэтому AD = AB = 8 см. Тогда MD = AD − AM = 8 − 4 = 4 см.

В прямоугольном треугольнике BMD катеты BM и MD, а ∠MBD = 60°: угол между BM и BA равен 30°, а диагональ BD ромба биссектрисa угла B. Следовательно, △BMD — прямоугольный треугольник 30°–60°–90°, причём MD = 4 см лежит напротив угла 60°. Можно также использовать BM = 4√3 и теорему Пифагора: BD = √((4√3)² + 4²) = √64 = 8 см.

Ответ: BD = 8 см.