5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 6 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD, и треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. Угол ABM равен 30°, а AM = 6 см — сторона, лежащая напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° равна половине гипотенузы. Поэтому AB = 2 · 6 = 12 см. Все стороны ромба равны, значит, AB = AD = 12 см.

Поскольку M лежит на стороне AD, угол BAM совпадает с углом BAD. В треугольнике ABM угол BAM равен 60°, следовательно, ∠BAD = 60°. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол между ними равен 60°, поэтому треугольник ABD равносторонний.

Ответ: BD = 12 см.