5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, а диагональ AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Поскольку BM — высота к прямой AD, BM ⟂ AD. Точка M лежит на продолжении AD, поэтому ∠BAM = ∠DAB.

В прямоугольном треугольнике ABM угол между AB и BM равен 30°, значит, ∠BAM = 60°. Следовательно, угол ромба A равен 60°.

Диагональ AC делит угол A ромба пополам, поэтому ∠BAC = 30°. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны; углы при основании AC равны. Так как ∠ABC = 120°, то ∠BAC = ∠BCA = 30°.

По теореме синусов или свойству треугольника с углами 30°, 30° и 120°: AB = AC · sin 30° / sin 120° = 6/√3 = 2√3 см.

В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB, а AM лежит напротив угла 30° между AB и BM. Поэтому AM = AB · sin 30° = √3 см.

Ответ: √3 см.