№ 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 5 см. Найдите длину диагонали BD.

Считаем, что M — основание высоты на стороне AD, как следует из обозначений BM и AM. Тогда BM ⟂ AD, и треугольник ABM прямоугольный. Его угол ABM равен 30°.

Сторона AM лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза AB = 2 · AM = 10 см. Все стороны ромба равны, значит AB = AD = 10 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол BAM равен 60°. Так как M лежит на AD, угол BAD ромба равен 60°. Диагональ BD — сторона треугольника ABD напротив угла 60°; при AB = AD = 10 см по теореме косинусов BD = 10 см.

Ответ: 10 см.