5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 6 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Поскольку BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD и треугольник ABM прямоугольный, причём ∠ABM = 30°. Сторона AB — гипотенуза, а AM — катет, противолежащий углу 30°. Поэтому AB = 2 · AM = 12 см, а BM = AM · √3 = 6√3 см.

В ромбе все стороны равны, значит AD = AB = 12 см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если их половины обозначить x = AO и y = BO, то из прямоугольных треугольников:

x² + y² = AB² = 144.

Угол между AB и BM равен 30°, а BM перпендикулярна AD; следовательно, угол BAD равен 60°. Диагональ BD делит угол B пополам, поэтому треугольник ABD равносторонний и BD = AB.

Ответ: BD = 12 см.