5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. BM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, угол BMA прямой. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а BM = 4 см.

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы. Поэтому AB = 8 см. Также AM = BM · √3 = 4√3 см.

Все стороны ромба равны, значит, AD = 8 см. Тогда DM = AD − AM = 8 − 4√3 см.

В прямоугольном треугольнике BMD по теореме Пифагора:

BD² = BM² + DM² = 4² + (8 − 4√3)² = 128 − 64√3.

Следовательно, BD = 4(√6 − √2) см.

Ответ: 4(√6 − √2) см.