5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD, AM = 4 см.

Поскольку BM — высота к стороне AD, BM ⟂ AD, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а ∠AMB = 90°. По условию ∠ABM = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет AM, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB. Значит, AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 см.

В ромбе все стороны равны, следовательно, AD = AB = 8 см. Так как AM = 4 см, получаем MD = AD − AM = 4 см. Треугольник BMD прямоугольный; BM — второй катет в треугольнике ABM с углом 30°, поэтому BM = 4√3 см. По теореме Пифагора:

BD² = BM² + MD² = (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64, поэтому BD = 8 см.

Ответ: BD = 8 см.