5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Точка M лежит на стороне AD, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба.

Так как BM — высота к стороне AD, BM ⟂ AD. Следовательно, треугольник ABM прямоугольный, причём ∠ABM = 30°.

В прямоугольном треугольнике сторона AM, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AB. Поэтому AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 см.

Угол BAM равен 60°. Поскольку M лежит на AD, это угол BAD ромба. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол между ними равен 60°. Значит, треугольник ABD равносторонний и BD = AB = 8 см.

Ответ: 8 см.