5. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

1. Пусть высоты BH и CK пересекаются в точке M. Угол ВМС = 140°. В четырехугольнике ABMC, углы BAM и BCM являются прямыми (90°).

2. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Угол BAC + угол ABC + угол BCM + угол CBH = 360°.

3. В треугольнике ВМС, угол МВС + угол МСВ + угол ВМС = 180°. Угол МВС = угол ABC - угол KBC, угол МСВ = угол ACB - угол HCB.

4. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = AC. Углы при основании равны: угол ABC = угол ACB. Пусть угол ABC = угол ACB = $$eta$$. Угол BAC = $$ ext{180°} - 2eta$$.

5. В четырехугольнике ABMC, угол BAC + угол ABC + угол BCM + угол CBH = 360°.

6. В треугольнике BHC, угол BHC = 90°, угол HBC = $$eta$$, угол HCB = 90° - $$eta$$.

7. В треугольнике BKM, угол BKM = 90°, угол KBM = $$eta$$, угол BKM = 90° - $$eta$$.

8. В треугольнике BМС, угол МВС + угол МСВ + 140° = 180°. Угол МВС + угол МСВ = 40°.

9. Угол МВС = угол ABC - угол KBC = $$eta$$ - (90° - $$eta$$) = 2$$eta$$ - 90°.

10. Угол МСВ = угол ACB - угол HCB = $$eta$$ - (90° - $$eta$$) = 2$$eta$$ - 90°.

11. (2$$eta$$ - 90°) + (2$$eta$$ - 90°) = 40°.

12. 4$$eta$$ - 180° = 40°.

13. 4$$eta$$ = 220°.

14. $$eta$$ = 55°.

15. Углы треугольника: угол ABC = 55°, угол ACB = 55°, угол BAC = 180° - 2 * 55° = 180° - 110° = 70°.

Ответ: 70°, 55°, 55°.