№ 5. Выяснить, каким числом — рациональным или иррациональным — является: а) $\frac{1}{2\sqrt3+1}-\frac{1}{2\sqrt3-1}$; б) $\sqrt{14-4\sqrt{10}}$; в) $(5^{\sqrt2}+6^{\sqrt3})(6^{\sqrt2}-5^{\sqrt3})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 5. Выяснить, каким числом — рациональным или иррациональным — является: а) $\frac{1}{2\sqrt3+1}-\frac{1}{2\sqrt3-1}$;…$ Фото задания

№ 5. Выяснить, каким числом — рациональным или иррациональным — является: а) $\frac{1}{2\sqrt3+1}-\frac{1}{2\sqrt3-1}$; б) $\sqrt{14-4\sqrt{10}}$; в) $(5^{\sqrt2}+6^{\sqrt3})(6^{\sqrt2}-5^{\sqrt3})$.

Accepted Answer

а) Приведём разность к общему знаменателю: $\frac{(2\sqrt3-1)-(2\sqrt3+1)}{(2\sqrt3+1)(2\sqrt3-1)}=\frac{-2}{12-1}=-\frac{2}{11}$. Это рациональное число.

б) Подкоренное выражение можно представить как квадрат: $14-4\sqrt{10}=(\sqrt{10}-2)^2$. Так как $\sqrt{10}>2$, получаем $\sqrt{14-4\sqrt{10}}=\sqrt{10}-2$, что иррационально.

в) Для выражения с показателями $\sqrt2$ и $\sqrt3$ приведённая запись не даёт стандартного школьного способа доказать рациональность или иррациональность; условие, вероятно, содержит опечатку или пропущенное дополнительное данное. Уточните, пожалуйста, пункт (в), прислав его более чётко или целиком. Пункты (а) и (б) решены.

№ 5. Выяснить, каким числом — рациональным или иррациональным — является: а) \(\frac{1}{2\sqrt3+1}-\frac{1}{2\sqrt3-1}\); б) \(\sqrt{14-4\sqrt{10}}\); в) \((5^{\sqrt2}+6^{\sqrt3})(6^{\sqrt2}-5^{\sqrt3})\).

Ответ: