5. Выясните, имеет ли решения система, и если да, сколько: \(\begin{cases} 5x - y = 11 \\ -10x + 2y = -22 \end{cases}\)

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases} 5x - y = 11 \\ -10x + 2y = -22 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2:

\( 2(5x - y) = 2(11) \)

\( 10x - 2y = 22 \)

Теперь сравним полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

\( 10x - 2y = 22 \)

\( -10x + 2y = -22 \)

Эти два уравнения являются противоположными. Если мы умножим второе уравнение на -1, получим:

\( -1(-10x + 2y) = -1(-22) \)

\( 10x - 2y = 22 \)

Получается, что оба уравнения системы сводятся к одному и тому же уравнению \( 10x - 2y = 22 \), или \( 5x - y = 11 \).

Это означает, что система имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют уравнению \( y = 5x - 11 \).

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений.