3. Решите систему уравнений \(\begin{cases} 2(3x - y) - 5 = 2x – 3y \\ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \end{cases}\)

Задание 3. Система уравнений

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} 2(3x - y) - 5 = 2x – 3y \\ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \end{cases}\)

Шаг 1: Упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

\[ 2(3x - y) - 5 = 2x – 3y \]

Раскроем скобки:

\[ 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \]

Перенесём члены с переменными влево, а константу вправо:

\[ 6x - 2x - 2y + 3y = 5 \]

\[ 4x + y = 5 \]

Второе уравнение:

\[ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \]

Раскроем скобки (меняя знаки внутри скобок):

\[ 5 - x + 2y = 4y + 16 \]

Перенесём члены с переменными влево, а константу вправо:

\[ -x + 2y - 4y = 16 - 5 \]

\[ -x - 2y = 11 \]

Чтобы избавиться от минуса перед \( x \), умножим всё уравнение на -1:

\[ x + 2y = -11 \]

Шаг 2: Получим упрощённую систему.

Теперь система выглядит так:

\(\begin{cases} 4x + y = 5 \\ x + 2y = -11 \end{cases}\)

Шаг 3: Решим упрощённую систему методом подстановки.

Из первого уравнения \( 4x + y = 5 \) выразим \( y \):

\[ y = 5 - 4x \]

Подставим это выражение во второе уравнение \( x + 2y = -11 \):

\[ x + 2(5 - 4x) = -11 \]

Раскроем скобки:

\[ x + 10 - 8x = -11 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ -7x + 10 = -11 \]

Вычтем 10 из обеих частей:

\[ -7x = -11 - 10 \]

\[ -7x = -21 \]

Разделим обе части на -7:

\[ x = \frac{-21}{-7} \]

\[ x = 3 \]

Шаг 4: Найдем значение \( y \).

Подставим \( x = 3 \) в выражение \( y = 5 - 4x \):

\[ y = 5 - 4(3) \]

\[ y = 5 - 12 \]

\[ y = -7 \]

Шаг 5: Проверка.

Подставим \( x = 3 \) и \( y = -7 \) в исходные (упрощённые) уравнения:

Первое: \( 4(3) + (-7) = 12 - 7 = 5 \) (Верно)

Второе: \( 3 + 2(-7) = 3 - 14 = -11 \) (Верно)

Ответ: \( x = 3, y = -7 \).