5. \(x=t^2-5t+1\). Найдите \(x_0\), \(v_{x0}\), \(a_x\), \(l_{t=6}\).

Дано: \(x(t)=t^2-5t+1\).

Начальная координата:

\[x_0=x(0)=0^2-5\cdot0+1=1\ \text{м}.\]

Проекция скорости:

\[v_x=\frac{dx}{dt}=2t-5,\qquad v_{x0}=v_x(0)=-5\ \text{м/с}.\]

Проекция ускорения:

\[a_x=\frac{dv_x}{dt}=2\ \text{м/с}^2.\]

Координата в момент \(t=6\) с:

\[x(6)=6^2-5\cdot6+1=36-30+1=7\ \text{м}.\]

Путь за первые 6 секунд найдём с учётом смены направления движения. Скорость равна нулю при \(2t-5=0\), то есть \(t=2.5\) с.

\[x(2.5)=2.5^2-5\cdot2.5+1=-5.25\ \text{м}.\]

\[l=|x(2.5)-x(0)|+|x(6)-x(2.5)|=|-5.25-1|+|7-(-5.25)|=6.25+12.25=18.5\ \text{м}.\]

Ответ: \(x_0=1\) м; \(v_{x0}=-5\) м/с; \(a_x=2\) м/с²; \(l_{t=6}=18,5\) м.