5) Задача. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а площадь - 60 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Тогда:

1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю: \( a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \).
2. Площадь прямоугольника равна: \( a \cdot b = 60 \).
3. Рассмотрим систему уравнений:
   \( \begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ ab = 60 \end{cases} \)
4. Из второго уравнения выразим \( b = \frac{60}{a} \) и подставим в первое: \( a^2 + (\frac{60}{a})^2 = 169 \)
5. \( a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169 \)
6. Умножим обе части на \( a^2 \) (где \( a \neq 0 \)): \( a^4 + 3600 = 169a^2 \)
7. Приведем к биквадратному уравнению: \( a^4 - 169a^2 + 3600 = 0 \)
8. Сделаем замену: пусть \( y = a^2 \). Тогда \( y^2 - 169y + 3600 = 0 \)
9. Найдем дискриминант: \( D = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \). \( \sqrt{D} = 119 \).
10. Найдем корни для \( y \):
    \( y_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \)
    \( y_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
11. Теперь найдем \( a \):
    Если \( y = a^2 = 144 \), то \( a = \sqrt{144} = 12 \) (сторона не может быть отрицательной).
    Если \( y = a^2 = 25 \), то \( a = \sqrt{25} = 5 \).
12. Найдем соответствующие значения \( b \):
    Если \( a = 12 \), то \( b = \frac{60}{12} = 5 \).
    Если \( a = 5 \), то \( b = \frac{60}{5} = 12 \).

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.