5. Задача на ромб (повышенная сложность): высота BM, проведённая из вершины B ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Длина диагонали AC равна 8 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Поскольку BM — высота к прямой AD, угол между BM и AD равен 90°. Угол между AB и BM равен 30°, поэтому острый угол между AB и AD равен 60°.

В ромбе с углом 60° диагональ AC равна стороне ромба, умноженной на √3. Обозначим сторону через a: a√3 = 8, следовательно, a = 8/√3.

Проекция AB на AD равна AM = a cos 60°. Поэтому AM = (8/√3) · 1/2 = 4√3/3 см.

Ответ: 4√3/3 см.