5. Задача: Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь пройдет он за 2,5 часа. Но он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 2 часа. Найдите длину пути.

Решение:

Пусть \( S \) — длина намеченного пути (в км), \( v \) — намеченная скорость (в км/ч).

По условию задачи, время прохождения пути с намеченной скоростью:

\[ t_1 = 2.5 \text{ часа} \]\[ S = v \cdot t_1 \]\[ S = 2.5v \quad (1) \]

Скорость, с которой шел пешеход:

\[ v_2 = v + 1 \text{ км/ч} \]

Время, за которое он прошёл путь:

\[ t_2 = 2 \text{ часа} \]

Длина пути также равна:

\[ S = v_2 \cdot t_2 \]\[ S = (v + 1) \cdot 2 \]\[ S = 2v + 2 \quad (2) \]

Приравняем уравнения (1) и (2), так как длина пути одинакова:

\[ 2.5v = 2v + 2 \]

Решим полученное уравнение:

\[ 2.5v - 2v = 2 \]\[ 0.5v = 2 \]\[ v = \frac{2}{0.5} \]\[ v = 4 \text{ км/ч} \]

Теперь найдём длину пути, подставив значение \( v \) в уравнение (1):

\[ S = 2.5v = 2.5 \cdot 4 \]\[ S = 10 \text{ км} \]

Проверим, подставив \( v \) в уравнение (2):

\[ S = 2v + 2 = 2 \cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10 \text{ км} \]

Скорость, с которой шел пешеход, была \( 4 + 1 = 5 \) км/ч. Время прохождения пути \( 10 \text{ км} / 5 \text{ км/ч} = 2 \) часа, что соответствует условию.

Ответ: 10 км.