5. Задуманы два числа. Если к половине первого числа прибавить четверть второго, то в результате получится 9, а если из удвоенного второго числа вычесть утроенное первое, то в результате получится 2. Найдите задуманные числа.

Решение:

Пусть первое задуманное число будет x, а второе — y.

Составим систему уравнений:

1. К половине первого числа прибавить четверть второго, получится 9: \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y = 9 \)
2. Из удвоенного второго числа вычесть утроенное первое, получится 2: \( 2y - 3x = 2 \)

Умножим первое уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

\( 4(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y) = 4 \times 9 \)

\( 2x + y = 36 \)

Теперь у нас есть новая система:

\( \begin{cases} 2x + y = 36 \\ 2y - 3x = 2 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим y:

\( y = 36 - 2x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 2(36 - 2x) - 3x = 2 \)

\( 72 - 4x - 3x = 2 \)

\( 72 - 7x = 2 \)

\( -7x = 2 - 72 \)

\( -7x = -70 \)

\( x = \frac{-70}{-7} \)

\( x = 10 \) — первое число.

Теперь найдём второе число:

\( y = 36 - 2x = 36 - 2(10) = 36 - 20 = 16 \) — второе число.

Проверим:

Половина первого: \( \frac{10}{2} = 5 \).

Четверть второго: \( \frac{16}{4} = 4 \).

Сумма: \( 5 + 4 = 9 \). (Первое условие выполнено).

Удвоенное второе: \( 2 \times 16 = 32 \).

Утроенное первое: \( 3 \times 10 = 30 \).

Разность: \( 32 - 30 = 2 \). (Второе условие выполнено).

Ответ: 10 и 16.