50 AB + DC = 24, SAABCD - ? (A quadrilateral ABCD is circumscribed around a circle. AB + DC = 24, find the area of ABCD.)

Дано:

• Четырехугольник ABCD описан около окружности.
• \[ AB + DC = 24 \]

Найти:

• \[ S_{ABCD} \]

Решение:

1. Свойство описанного четырехугольника: Сумма длин противоположных сторон равна. В нашем случае:
   \[ AB + DC = BC + AD \]
2. Используем данное условие:
   \[ AB + DC = 24 \]
3. Следовательно,
   \[ BC + AD = 24 \]
4. Периметр четырехугольника:
   \[ P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = (AB + DC) + (BC + AD) = 24 + 24 = 48 \]
5. Формула площади описанного четырехугольника:
   \[ S = r × p \], где r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр.
6. Радиус вписанной окружности: По условию задачи (на рисунке видно, что радиус равен 10),
   \[ r = 10 \]
7. Полупериметр:
   \[ p = \frac{P_{ABCD}}{2} = \frac{48}{2} = 24 \]
8. Площадь четырехугольника:
   \[ S_{ABCD} = r × p = 10 × 24 = 240 \]

Ответ: 240