58 MN : NK : KL = 2 : 6 : 7, PMNKL = 54, MN, NK, KL, LM - ? (A quadrilateral MNKL is circumscribed around a circle. MN : NK : KL = 2 : 6 : 7, the perimeter of MNKL is 54. Find the lengths of the sides MN, NK, KL, LM.)

Дано:

• Четырехугольник MNKL описан около окружности.
• \[ MN : NK : KL = 2 : 6 : 7 \]
• \[ P_{MNKL} = 54 \]

Найти:

• \[ MN, NK, KL, LM \]

Решение:

1. Обозначим части пропорции: Пусть
   \[ MN = 2x \],
   \[ NK = 6x \],
   \[ KL = 7x \].
2. Свойство описанного четырехугольника: Сумма длин противоположных сторон равна.
   \[ MN + KL = NK + LM \]
3. Периметр четырехугольника:
   \[ P_{MNKL} = MN + NK + KL + LM = 54 \]
4. Подставим известные значения в формулу периметра:
   \[ 2x + 6x + 7x + LM = 54 \]
5. 
   \[ 15x + LM = 54 \]
6. Используем свойство описанного четырехугольника:
   \[ 2x + 7x = 6x + LM \]
7. 
   \[ 9x = 6x + LM \]
8. Находим LM:
   \[ LM = 9x - 6x = 3x \]
9. Теперь подставим LM обратно в формулу периметра:
   \[ 15x + 3x = 54 \]
10. 
    \[ 18x = 54 \]
11. Находим x:
    \[ x = \frac{54}{18} = 3 \]
12. Вычисляем длины сторон:
    \[ MN = 2x = 2 × 3 = 6 \]
13. 
    \[ NK = 6x = 6 × 3 = 18 \]
14. 
    \[ KL = 7x = 7 × 3 = 21 \]
15. 
    \[ LM = 3x = 3 × 3 = 9 \]
16. Проверка:
    \[ MN + KL = 6 + 21 = 27 \]
17. 
    \[ NK + LM = 18 + 9 = 27 \]
18. 
    \[ P_{MNKL} = 6 + 18 + 21 + 9 = 54 \]

Ответ: MN = 6, NK = 18, KL = 21, LM = 9