502. Сократите дробь: а) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$; б) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$; в) $\frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}$; г) $\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 502. Сократите дробь: а) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Положим $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{y}$. Тогда $x\sqrt{x}=u^3$, $y\sqrt{y}=v^3$:

\[\frac{u^3-v^3}{u-v}=u^2+uv+v^2=x+\sqrt{xy}+y.\]

б) В знаменателе вынесем кубы корней: $a\sqrt a=(\sqrt a)^3$, $b\sqrt b=(\sqrt b)^3$. Поэтому

\[\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}=\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}.\]

в) Обозначим $t=\sqrt{x}$. Знаменатель равен $t^2+\sqrt2t+2$, а числитель — $(\sqrt2)^3-t^3$:

\[\frac{(\sqrt2)^3-t^3}{t^2+\sqrt2t+2}=\sqrt2-t.\]

г) Числитель — квадрат разности: $a-\sqrt{3a}+3=(\sqrt a-\sqrt3)^2$. Знаменатель раскладывается по формуле суммы кубов:

\[a\sqrt a+3\sqrt3=(\sqrt a)^3+(\sqrt3)^3=(\sqrt a+\sqrt3)(a-\sqrt{3a}+3).\]

После сокращения получаем

Ответ: а) $x+\sqrt{xy}+y$; б) $\frac1{a-\sqrt{ab}+b}$; в) $\sqrt2-\sqrt x$; г) $\frac{\sqrt a-\sqrt3}{a-\sqrt{3a}+3}$.

502. Сократите дробь: а) \(\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\); б) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}\); в) \(\frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}\); г) \(\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}\).