505. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOD и AOB равнобедренные.

Это утверждение в общем случае неверно. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC и BO = OD. Однако эти равенства не дают ни AO = OD, ни AO = AB, необходимых, чтобы заключить, что оба названных треугольника равнобедренные.

Например, возьмём параллелограмм с вершинами A(0; 0), B(4; 0), D(0; 3), C(4; 3). Его диагонали пересекаются в O(2; 1,5). В треугольнике AOD стороны AO = 2,5, OD = 2,5, AD = 3 — он равнобедренный. Но в треугольнике AOB стороны AO = 2,5, OB = 2,5, AB = 4 — этот пример равнобедренный; чтобы показать, что утверждение в целом неверно, достаточно изменить наклон стороны: возьмём A(0; 0), B(5; 0), D(0; 2), C(5; 2). Тогда O(2,5; 1), AO = OB = √7,25, но AB = 5; второй треугольник всё ещё равнобедренный из-за равенства диагональных половин. В общем случае AO = OB не следует: равны половины одной диагонали AO и OC, а другой — BO и OD.

Следовательно, для доказательства равнобедренности обоих треугольников данных условия недостаточно: требуется дополнительное условие, например равенство диагоналей. При равных диагоналях их половины равны, и тогда AO = OD = OB, так что оба треугольника равнобедренные.