509. Решите графически уравнение: а) $$x^2 = x + 6$$; б) $$x^2 + 2x - 3 = 0$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Уравнение: $$x^2 = x + 6$$

Для решения построим графики двух функций:

• $$y = x^2$$ (парабола)
• $$y = x + 6$$ (прямая)

Найдем точки пересечения графиков. Решив систему уравнений:

• $$x^2 = x + 6$$
• $$x^2 - x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

• $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$
• $$x_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{1 + 5}{2} = 3$$
• $$x_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{1 - 5}{2} = -2$$

Графически это будет соответствовать двум точкам пересечения параболы $$y=x^2$$ и прямой $$y=x+6$$ с $$x$$-координатами $$-2$$ и $$3$$.

б) Уравнение: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$

Это уравнение представляет собой поиск корней квадратного трехчлена. Графически это соответствует нахождению точек пересечения параболы $$y = x^2 + 2x - 3$$ с осью $$Ox$$ (где $$y=0$$).

Найдем вершину параболы:

• $$x_в = rac{-b}{2a} = rac{-2}{2(1)} = -1$$
• $$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$

Вершина параболы находится в точке $$(-1; -4)$$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ (a=1) положительный.

Найдем корни уравнения (точки пересечения с осью $$Ox$$), решив квадратное уравнение:

• $$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$
• $$x_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{-2 + 4}{2} = 1$$
• $$x_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{-2 - 4}{2} = -3$$

Графически это будут точки пересечения параболы $$y = x^2 + 2x - 3$$ с осью $$Ox$$ в точках $$x = -3$$ и $$x = 1$$.

Ответ:

• а) $$x = -2; 3$$
• б) $$x = -3; 1$$