51. Упростите выражения: 1) a⁸ · a¹²; 2) a⁷ · a⁻¹¹; 3) a⁻⁶ · a¹⁰ · a⁻²⁰; 4) a⁻³ : a⁵; 5) a⁻⁴ : a⁻¹²; 6) a¹⁷ · a⁻²³ : a⁻¹⁵; 7) (a⁻⁴)⁸; 8) (a³)⁻⁷ · (a⁻⁴)⁻⁵ : (a⁻⁵)⁸; 9) (a⁵b⁻³c⁴)⁻¹⁰; 10) (a²b⁻³)⁻³ · (a⁻⁴b⁻⁹)⁶; 11) ((a¹²b⁻⁴)/(c⁵d⁻¹³))⁻²; 12) (a⁷/b⁻⁸)⁴ · (a⁻³/b⁹)⁻¹².

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, при делении — вычитаем, а при возведении степени в степень — перемножаем.

1. \(a^{8+12}=a^{20}\).
2. \(a^{7-11}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\).
3. \(a^{-6+10-20}=a^{-16}=\frac{1}{a^{16}}\).
4. \(a^{-3-5}=a^{-8}=\frac{1}{a^8}\).
5. \(a^{-4-(-12)}=a^8\).
6. \(a^{17-23-(-15)}=a^9\).
7. \(a^{-4\cdot8}=a^{-32}=\frac{1}{a^{32}}\).
8. \(a^{-21+20-(-40)}=a^{39}\).
9. \(a^{-50}b^{30}c^{-40}=\frac{b^{30}}{a^{50}c^{40}}\).
10. \(a^{-6}b^9\cdot a^{-24}b^{-54}=a^{-30}b^{-45}=\frac{1}{a^{30}b^{45}}\).
11. \(a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}=\frac{b^8c^{10}}{a^{24}d^{26}}\).
12. \(a^{28}b^{32}\cdot a^{36}b^{108}=a^{64}b^{140}\).

Ответ: 1) a²⁰; 2) 1/a⁴; 3) 1/a¹⁶; 4) 1/a⁸; 5) a⁸; 6) a⁹; 7) 1/a³²; 8) a³⁹; 9) b³⁰/(a⁵⁰c⁴⁰); 10) 1/(a³⁰b⁴⁵); 11) b⁸c¹⁰/(a²⁴d²⁶); 12) a⁶⁴b¹⁴⁰.

В пункте 9 показатель у скобок прочитан как −10, а показатель b внутри скобок — как −3.