51. Выполните действия: а) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}$; б) $\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right)$; в) $\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}$; г) $\frac{x-2}{x-3}\cdot\left(x+\frac{x}{2-x}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 51. Выполните действия: а) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём сумму в скобках к общей дроби:

$\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}$.

Знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль: $x\ne-1,\frac12$.

б) Сначала упростим делитель:

$1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{y}{y-1}$.

Тогда

$\frac{5y^2}{1-y^2}:\frac{y}{y-1}=\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{y-1}{y}=-\frac{5y}{y+1}$.

С учётом исходного выражения: $y\ne-1,0,1$.

в) Упростим выражение в первых скобках:

$\frac{4a}{2-a}-a=-\frac{4a}{a-2}-a=-\frac{a(a+2)}{a-2}$.

Деление на дробь заменим умножением на обратную:

$-\frac{a(a+2)}{a-2}:\frac{a+2}{a-2}=-a$.

Ограничения исходного выражения: $a\ne2,-2$.

г) Упростим скобки:

$x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}=\frac{x(x-3)}{x-2}$.

Следовательно, $\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(x-3)}{x-2}=x$, где $x\ne2,3$.

Ответ: а) $\frac{2x+1}{2x-1}$; б) $-\frac{5y}{y+1}$; в) $-a$; г) $x$, при указанных ограничениях.

51. Выполните действия: а) \(\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}\); б) \(\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right)\); в) \(\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}\); г) \(\frac{x-2}{x-3}\cdot\left(x+\frac{x}{2-x}\right)\).