519. а) \(\frac12\log_2(x-4)+\frac12\log_2(2x-1)=\log_2 3\); б) \(\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=1\); в) \(\lg(x^2+2x-7)-\lg(x-1)=0\); г) \(\log_5(x^2+8)-\log_5(x+1)=3\log_5 2\).

а) Область определения: \(x>4\).

\(\frac12\log_2((x-4)(2x-1))=\log_2 3\), поэтому \((x-4)(2x-1)=9\).

\(2x^2-9x-5=0\), откуда \(x=5\) или \(x=-\frac12\). Условию области определения отвечает только \(x=5\).

б) Область определения: \(3x+4>0\). Объединяем логарифмы и используем \(1=\lg 10\):

\(\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10\), откуда \(3x^2-18x-21=0\), то есть \((x-7)(x+1)=0\). Оба корня удовлетворяют области определения.

в) Область определения требует \(x>1\). Тогда \(\lg\frac{x^2+2x-7}{x-1}=0\), значит \(\frac{x^2+2x-7}{x-1}=1\). Получаем \(x^2+x-6=0\), корни \(2\) и \(-3\). Области определения удовлетворяет только \(x=2\).

г) Область определения: \(x>-1\). Объединяем логарифмы:

\(\log_5\frac{x^2+8}{x+1}=\log_5 8\), значит \(x^2+8=8(x+1)\). Отсюда \(x(x-8)=0\). Оба корня допустимы.

Ответ: а) 5; б) −1, 7; в) 2; г) 0, 8.