52. Докажите неравенство: а) 6(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a; б) (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.

а)

Раскроем скобки:

\(6(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a\).

\(6a+6<6a^2+5a+1+a\).

\(6a+6<6a^2+6a+1\).

Вычтем \(6a+6\) из обеих частей:

\(0<6a^2+1\).

Так как \(a^2\geq0\), то \(6a^2+1>0\) при любом действительном \(a\). Неравенство доказано.

б)

Раскроем скобки:

\((2p-1)(2p+1)+3(p+1)> (4p+3)p\).

\(4p^2-1+3p+3>4p^2+3p\).

\(4p^2+3p+2>4p^2+3p\).

Вычтем \(4p^2+3p\) из обеих частей:

\(2>0\).

Полученное утверждение верно. Неравенство доказано.

Ответ: оба неравенства верны при любых действительных значениях переменных.