53. а) Разность корней уравнения x² − 8x + q = 0 равна 16. Найдите q. б) Сумма квадратов корней уравнения x² − 7x + q = 0 равна 29. Найдите q.

а) Пусть корни — \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \(x_1+x_2=8\), \(x_1x_2=q\). Используем формулу:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\).

\(16^2=8^2-4q\), откуда \(256=64-4q\), \(q=-48\).

б) По теореме Виета \(x_1+x_2=7\), \(x_1x_2=q\). Тогда:

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49-2q\).

\(49-2q=29\), \(2q=20\), \(q=10\).

Ответ: а) \(q=-48\); б) \(q=10\).