52. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: 1) x⁴ − 2; 2) (x + 3)² + 11; 3) (x − 4)² − 3?

Используем свойство: квадрат любого числа неотрицателен, поэтому выражение вида \(u^2+c\) принимает наименьшее значение при \(u=0\).

1. \(x^4\geq 0\). Поэтому \(x^4-2\geq -2\). Равенство достигается при \(x=0\).
   Наименьшее значение: \(-2\).
2. \((x+3)^2\geq 0\). Поэтому \((x+3)^2+11\geq 11\). Равенство достигается при \(x+3=0\), то есть \(x=-3\).
   Наименьшее значение: \(11\).
3. \((x-4)^2\geq 0\). Поэтому \((x-4)^2-3\geq -3\). Равенство достигается при \(x-4=0\), то есть \(x=4\).
   Наименьшее значение: \(-3\).

Ответ: 1) −2 при \(x=0\); 2) 11 при \(x=-3\); 3) −3 при \(x=4\).