53. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: 1) −x² − 4; 2) 5 − (x − 2)²; 3) −(x + 9)² + 3?

Используем свойство: квадрат любого числа неотрицателен, поэтому выражение вида \(-u^2+c\) принимает наибольшее значение при \(u=0\).

1. \(-x^2\leq 0\). Поэтому \(-x^2-4\leq -4\). Равенство достигается при \(x=0\).
   Наибольшее значение: \(-4\).
2. \((x-2)^2\geq 0\), значит \(-(x-2)^2\leq 0\). Поэтому \(5-(x-2)^2\leq 5\). Равенство достигается при \(x=2\).
   Наибольшее значение: \(5\).
3. \((x+9)^2\geq 0\), значит \(-(x+9)^2\leq 0\). Поэтому \(-(x+9)^2+3\leq 3\). Равенство достигается при \(x=-9\).
   Наибольшее значение: \(3\).

Ответ: 1) −4 при \(x=0\); 2) 5 при \(x=2\); 3) 3 при \(x=-9\).