526. Постройте три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что: 1) $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$; 2) $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$; 3) $\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AB}$; 4) $\overrightarrow{AC}=-\frac13\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 526. Постройте три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что: 1) $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$; 2)…$ Фото задания

526. Постройте три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что: 1) $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$; 2) $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$; 3) $\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AB}$; 4) $\overrightarrow{AC}=-\frac13\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Во всех пунктах точки лежат на одной прямой, поскольку заданные векторы пропорциональны. Выберем произвольные длину единичного отрезка и направление прямой.

Пусть $\overrightarrow{AC}=\vec{u}$, где $\vec{u}\ne\vec{0}$. Тогда $\overrightarrow{AB}=2\vec{u}$. Точки расположены в порядке $A,C,B$, причём $AC=\frac12 AB$.
Пусть $\overrightarrow{AC}=\vec{u}$. Тогда $\overrightarrow{AB}=-3\vec{u}$: лучи $AB$ и $AC$ противоположны, а $AB=3AC$. Порядок точек: $B,A,C$.
Положим $A=0$, $B=2\vec{u}$. Тогда $\overrightarrow{AB}=2\vec{u}$, поэтому $\overrightarrow{BC}=\vec{u}$. Следовательно, $C=3\vec{u}$, и порядок точек — $A,B,C$.
Пусть $\overrightarrow{BC}=\vec{u}$. Тогда $\overrightarrow{AC}=-\frac13\vec{u}$. Из равенства $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ получаем $\overrightarrow{AB}=-\frac43\vec{u}$. Порядок точек: $A,C,B$.

В каждом пункте можно выбрать любое ненулевое $\vec{u}$; это задаёт конкретный масштаб и направление построения.

526. Постройте три точки \(A\), \(B\) и \(C\) такие, что: 1) \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\); 2) \(\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}\); 3) \(\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AB}\); 4) \(\overrightarrow{AC}=-\frac13\overrightarrow{BC}\).

Ответ: