526. Решите неравенства: а) $\log_{0.5}x>\log_2(3-2x)$; б) $\log_{\pi}(x+1)+\log_{\pi}x<\log_{\pi}2$; в) $\lg x+\lg(x-1)<\lg6$; г) $\log_2(x^2-x-12)<3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 526. Решите неравенства: а) $\log_{0.5}x>\log_2(3-2x)$; б) $\log_{\pi}(x+1)+\log_{\pi}x<\log_{\pi}2$; в) \(\lg…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: \(0

\[-\log_2x>\log_2(3-2x)\]

\[\log_2\frac1x>\log_2(3-2x)\]

Так как основание $2>1$, получаем $\frac1x>3-2x$. При $x>0$: $1>3x-2x^2$, то есть $2x^2-3x+1>0$. Следовательно, $x<\frac12$ или $x>1$.

Ответ: $x\in\left(0;\frac12\right)\cup\left(1;\frac32\right)$.

б) ОДЗ: $x>0$. Объединяем логарифмы:

\[\log_{\pi}(x(x+1))<\log_{\pi}2\]

Так как $\pi>1$, $x(x+1)<2$, откуда $x^2+x-2<0$. Поэтому \(-2

Ответ: $x\in(0;1)$.

в) ОДЗ: $x>1$. Объединяем логарифмы: $\lg(x(x-1))<\lg6$, поэтому $x(x-1)<6$. Получаем $x^2-x-6<0$, или \(-2

Ответ: $x\in(1;3)$.

г) Так как основание $2>1$, неравенство равносильно системе \(0

\[x^2-x-12=(x-4)(x+3)>0\Rightarrow x\in(-\infty;-3)\cup(4;+\infty),\]

\[x^2-x-12<8\Rightarrow x^2-x-20<0\Rightarrow x\in(-4;5).\]

Пересечение промежутков даёт:

Ответ: $x\in(-4;-3)\cup(4;5)$.

526. Решите неравенства: а) \(\log_{0.5}x>\log_2(3-2x)\); б) \(\log_{\pi}(x+1)+\log_{\pi}x<\log_{\pi}2\); в) \(\lg x+\lg(x-1)<\lg6\); г) \(\log_2(x^2-x-12)<3\).