53 AD = BC, AB, DC = ?, R = ?

Решение:

Четырёхугольник ABCD является равнобокой трапецией, так как AD = BC и в неё вписана окружность. В равнобокой трапеции основания параллельны, а боковые стороны равны. AB \(\parallel\) DC.

По свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны: AB + DC = AD + BC.

Нам дано, что AD = BC. Обозначим AD = BC = x. Тогда AB + DC = x + x = 2x.

Из рисунка видно, что радиус вписанной окружности равен R. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2R \).

На рисунке также даны длины сторон: AD = 15, AB = 12. Значит, BC = 15.

Тогда AB + DC = AD + BC = 15 + 15 = 30.

Поскольку AB = 12, то \( 12 + DC = 30 \). Следовательно, DC = 30 - 12 = 18.

Высота трапеции равна радиусу, умноженному на 2. На рисунке указана одна из боковых сторон AD = 15. В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины верхнего основания на нижнее, отсекает отрезок, равный \( \frac{DC - AB}{2} \).

\( \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и этим отрезком. По теореме Пифагора: \( h^2 + 3^2 = 15^2 \). \( h^2 + 9 = 225 \). \( h^2 = 216 \). \( h = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \).

Радиус \( R = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \).

Ответ: DC = 18, R = 3\(\sqrt{6}\)