532. Решите уравнение, введя новую переменную: а) \(2x-\sqrt{x}=0\); б) \(2x-2-3\sqrt{x-1}=0\); в) \(\sqrt{x}+3x=0\); г) \(2\sqrt{2x-3}+6x-9=0\).

а) Введём замену \(t=\sqrt{x}\), где \(t\geq 0\). Тогда \(x=t^2\), и уравнение принимает вид \(2t^2-t=0\), то есть \(t(2t-1)=0\). Получаем \(t=0\) или \(t=\frac12\), откуда \(x=0\) или \(x=\frac14\).

б) Пусть \(t=\sqrt{x-1}\), где \(t\geq 0\). Тогда \(x=t^2+1\). Подставим: \(2(t^2+1)-2-3t=0\), поэтому \(t(2t-3)=0\). Значит, \(t=0\) или \(t=\frac32\), откуда \(x=1\) или \(x=\frac{13}{4}\).

в) Пусть \(t=\sqrt{x}\), где \(t\geq 0\), тогда \(x=t^2\). Получаем \(t+3t^2=0\), то есть \(t(1+3t)=0\). С учётом \(t\geq0\) подходит только \(t=0\), поэтому \(x=0\).

г) Пусть \(t=\sqrt{2x-3}\), где \(t\geq0\). Тогда \(2x=t^2+3\), и исходное уравнение преобразуется к \(2t+3(t^2+3)-9=0\), то есть \(t(3t+2)=0\). Подходит только \(t=0\), поэтому \(x=\frac32\).

Ответ: а) \(0;\frac14\); б) \(1;\frac{13}{4}\); в) \(0\); г) \(\frac32\).